Permutaatio = Bijektiivinen funktio f joukolta X itselleen. Jos X = {a,b,c}, niin esimerkiksi säännöt f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a määräävät permutaation. Jos X on kokonaislukujen joukko Z, niin kuvaus f(n)=n+1 on permutaatio. Sama kaava ei määrittele luonnollisten lukujen joukon N = {1,2,3,...} permutaatiota, sillä tällöin f ei ole surjektio, koska f(n)>1 aina, kun n on luonnollinen luku. Olipa X mikä tahansa joukko, niin identiteettikuvaus id, joka määräytyy ehdoista id(x)=x (kaikille alkioille x) on joukon X permutaatio.
Kompositio = funktioiden yhdiste eli kuvaustulo. Esimerkiksi funktioiden g(x)=sin(x) ja f(x)=x+1 avulla saadaan yhdistetyt kuvaukset (f o g)(x)=sin(x)+1 ja (g o f)(x)=sin(x+1). Yleensä siis (f o g) on eri funktio kuin (g o f). Kahden permutaation kuvaustulo on aina myös permutaatio.
Ryhmä = joukko G, jonka alkiolle on määritelty jokin (abstrakti) kertolaskuksi kutsuttu sääntö muodostaa kahden ryhmän alkion tulona jokin kolmas alkio. Kertolaskun on toteutettava seuraavat ehdot
Esimerkiksi kokonaisluvut muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen: identiteettialkio = 0 ja käänteisalkio = vastaluku. Äärellisen joukon X permutaatiot muodostavat ryhmän kuvaustulon suhteen: identiteettialkio = identiteettikuvaus, käänteisalkio = käänteiskuvaus.
Permutaatioryhmä = sellainen kokoelma G äärellisen joukon X permutaatioita, joka on suljettu kuvaustulon suhteen, eli jos f ja g ovat permutaatioryhmän G alkioita, niin kuvaustulojen (f o g) ja (g o f) on myös oltava joukon G alkioita. Esimerkiksi kaikkien permutaatioiden joukko S(X) on permutaatioryhmä. Harjoitustehtävänä voit todistaa, että joukko D={(1)=identiteettikuvaus,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(13),(24),(1234),(1432)} ryhmä. Tässä X={1,2,3,4}.
Aliryhmä. Jos G on ryhmä tai permutaatioryhmä, ja H on joukon G sellainen osajoukko, joka myös muodostaa ryhmän saman kertolaskun suhteen, sanotaan, että H on ryhmän G aliryhmä. Merkintä H < G. Esimerkiksi parillisten kokonaislukujen joukko on kokonaislukujen yhteenlaskuryhmän aliryhmä, Alt(X) < S(X) ja joukko D={(1)=identiteettikuvaus,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(13),(24),(1234),(1432)} < S4. Jokaisella ryhmällä G on aina kaksi aliryhmää: G itse ja identiteettialkion yksinään muodostama aliryhmä {1}. Näitä sanotaan triviaaleiksi aliryhmiksi.
Sivuluokka. Jos G on ryhmä, H sen aliryhmä ja g jokin ryhmän G alkio, niin joukkoa
Helposti nähdään, että sivuluokan alkioiden lukumäärä on sama kuin aliryhmänkin, sillä kertolasku vakiokertoimella g on bijektio. Ryhmäaksioomien nojalla kertolasku vakiokertoimella g-1 on sen käänteiskuvaus.
Esimerkiksi joukon X parittomat permutaatiot muodostavat ryhmän Alt(X) sivuluokan. Tässä tulosäännön nojalla alkioksi g kelpaa mikä tahansa pariton permutaatio.
Normaali aliryhmä. Aliryhmää H < G sanotaan normaaliksi, jos osajoukon H mielivaltaisen alkion h mielivaltaiset konjugaatit ghg-1 myös kuuluvat joukkoon H. Esimerkiksi Alt(X) on ryhmän S(X) normaali aliryhmä. Triviaalit aliryhmät ovat normaaleja.
Syklinen ryhmä G muodostuu yhden alkionsa g (ns. generaattorin) potensseista, eli kaikki ryhmän G alkiot ovat muotoa gn, missä n on kokonaisluku. Jos G on äärellinen joukko, jossa on m alkiota, niin tällöin gm=1. Tällöin ryhmän G sanotaan olevan m:n alkion syklinen ryhmä, merkintä Cm.
Yksinkertainen ryhmä. Sellaista ryhmää G, jonka ainoat normaalit aliryhmät ovat G itse ja {1}, sanotaan yksinkertaiseksi. Helposti nähdään, että Cp on yksinkertainen, jos p on alkuluku. Vaikeampi, algebran kurssilla todistettava tulos on, että Alt(X) on yksinkertainen, joss joukossa X on ainakin viisi alkiota. Kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät tunnetaan nykyään, mutta tämän luokittelun todistus on pituudeltaan yhteensä arviolta 15000 sivua.
Tekijäryhmä. Jos H on ryhmän G normaali aliryhmä, niin voidaan muodostaa tekijäryhmä G/H samaistamalla sellaiset ryhmän G alkiot g ja g', joiden suhde g-1g' kuuluu aliryhmään H. Jos g ja g' on samaistettu ja h ja h' on samaistettu, niin tällöin (gh)-1(g'h')=h-1g-1g'h'= h-1(g-1g')h (h-1h'). Tässä molemmat sulkulausekkeet kuuluvat oletusten nojalla aliryhmään H. Lisäksi tulo h-1(g-1g')h kuuluu aliryhmään H, sillä se on normaalin aliryhmän H alkion konjugaatti. Näin ollen koko lauseke on aliryhmän H alkio ja näemme, että tulot gh ja g'h' on samaistettu, eli samaistettujen alkioiden kertolasku on hyvin määritelty. Jos H ei ole normaali, ei samaistetuille alkioille voida määritellä kertolaskua.
Esimerkiksi tekijäryhmää S(X)/Alt(X) muodostettaessa samaistetaan kaikki parilliset permutaatiot keskenään (kahden parillisen suhde on parillinen tulosäännön nojalla) ja kaikki parittomat permutaatiot keskenään (kahden parittoman permutaation suhde on parillinen tulosäännön nojalla). Näin ollen tekijäryhmässä S(X)/Alt(X) on vain kaksi alkiota.
Ryhmien isomorfia. Ryhmiä G ja H sanotaan isomorfisiksi, jos niiden välillä on olemassa sellainen bijektio f, joka säilyttää tulot, eli f(ab)=f(a)f(b) valittiinpa alkiot a ja b miten tahansa. Esimerkiksi ryhmät G={(1),(12),(34), (12)(34)} ja H={(1),(13),(24),(13)(24)} ovat isomorfisia. Välittävän bijektion etsiminen jää harjoitustehtäväksi. Samoin tekijäryhmä S(X)/Alt(X) on isomorfinen syklisen ryhmän C2 kanssa.
Kompositiosarja ja kompositiotekijä. Jos aliryhmien ketjussa
Ratkeava ryhmä. Äärellistä ryhmää sanotaan ratkeavaksi, jos sen kaikki kompositiotekijät ovat syklisiä ryhmiä. Esimerkiksi sykliset ryhmät ovat ratkeavia, mutta S(X) ei ole ratkeava, jos joukossa X on vähintään viisi alkiota. Ratkeavan ryhmän aliryhmä on aina ratkeava.
Ranskalaisen 1800-luvun matemaatikko Evariste Galois kehitti menetelmän liittää astetta n olevaan polynomiyhtälöön P(x)=0 eräs ryhmän Sn aliryhmä G(P). Hän osoitti, että kyseinen yhtälö voidaan ratkaista juurtenottojen ja peruslaskutoimitusten avulla, joss G(P) on ratkeava. Esimerkiksi koulusta tutun toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolo seuraa näin viime kädessä siitä, että ryhmä S2 (ja sen aliryhmät) on ratkeava. Vastaavat ratkaisukaavat voidaan johtaa astetta kolme ja neljä oleville yhtälöille, koska ryhmät S3 ja S4 ovat niin ikään ratkeavia.