Jos Gon joukko äärellisen joukon X permutaatioita, joka on suljettu kuvaustulon suhteen, niin joukon G jokaisen permutaation käänteispermutaatio myös kuuluu joukkoon G.

Todistus.

Olkoon s jokin permutaatio, joka kuuluu joukkoon G. Koska G on suljettu kuvaustulon suhteen, niin permutaatio s2 = s s kuuluu joukkoon G. Edelleen s3 = (s2) s on joukon G alkio, koska sekä s, että s2 ovat. Näemme helposti induktiolla, että kaikki kuvauksen s potenssit sn= (sn-1) s ovat joukon G alkioita (tässä yhteydessä potenssi tarkoittaa sitä, että toistamme kuvausta s useita kertoja, määrittelemme edelleen s0=id). Koska X on äärellinen joukko, niin S(X) on myös äärellinen joukko ja edelleen G on äärellinen joukko. Näin ollen kaikki potenssit sn eivät voi olla eri permutaatioita. On siis olemassa sellaiset eri kokonaisluvut k ja m, että sk = sm. Voimme olettaa, että k < m. Nyt sitten (sk-1) s = sk = sm = (sm-1) s. Koska s on bijektio, niin tästä funktioiden välisestä yhtälöstä voimme "pyyhkiä yli" tulon lopussa olevan permutaation s, eli sk-1=sm-1. Toistamalla tätä prosessia k kertaa saamme lopulta kaikki tekijät s katoamaan toiselta puolelta: id = s0 = sm-k=(sm-k-1) s, joten potenssi sm-k-1 on nyt permutaation s käänteiskuvaus. Tässä m-k-1 on ei-negatiivinen luku, joten olemme jo aiemmin nähneet, että kyseinen potenssi on joukossa G. MOT.

Äärellisen joukon X parillinen permutaatio voidaan esittää 3-syklien kuvaustulona.

Todistus.

Olkoon s joukon X parillinen permutaatio. Sanomme, että alkio x liikkuu, jos s(x) on eri alkio kuin x. Teemme todistuksen induktiolla liikkuvien alkioiden lukumäärän n suhteen. Jos n=0, niin s on identiteettikuvaus, mikä on 3-syklien tyhjä tulo. Näin on induktiomme lähtökohta selvä.

Jos n > 0, niin teemme ensin havainnon, että tällöin liikkuvia alkioita on ainakin 3 kappaletta. Selvästi tapaus n = 1 on mahdoton (mikä voisi olla ainoan liikkuvan alkion kuva, kun kaikki muut ovat itsensä alkukuvia). Jos n = 2, niin ainoiden liikkuvien alkioiden, sanokaamme x ja y, on pakko kuvautua toisikseen. Tällöin kuitenkin s=(xy)> on 2-sykli, mikä on mahdotonta, koska oletimme, että s on parillinen permutaatio.

Voimme siis olettaa, että n on vähintään 3. Olkoon x yksi liikkuvista alkioista. Nyt s(x) on myös liikkuva alkio, sillä sen alkukuva on x (paikallaan pysyvä alkio on itsensä alkukuva). Oletuksestamme seuraa, että löytyy vielä kolmaskin liikkuva alkio y. Tarkastelkaamme kuvaustuloa s'=(x y s(x)) s. Jos alkio z pysyy paikallaan kuvauksessa s, niin z ei ole mikään alkioista x, y, s(x). Näin ollen z pysyy paikallaan myös kuvauksessa s'. Lisäksi huomaamme, että tässä kompositiossa x kuvautuu ensin alkioksi s(x), jonka 3-sykli sitten kuvaa alkioksi x. Näin ollen s'(x)=x. Olemme osoittaneet, että permutaatiossa s' on vähemmän liikkuvia alkioita kuin permutaatiossa s. Lisäksi tulosäännön nojalla permutaatio s' on parillinen. Induktio-oletuksen nojalla permutaatio s' voidaan lausua 3-syklien tulona. Koska 3-syklin (x y s(x)) käänteispermutaatio on 3-sykli (x s(x) y), niin (x s(x) y) s'= (x s(x) y) ((x y s(x)) s) = ((x s(x) y) (x y s(x)) s) = id s = s. Saamme siis permutaatiolle s esityksen 3-syklien tulona jatkamalla permutaation s' vastaavaa esitystä 3-syklillä (x s(x) y). MOT.

Ryhmä G(asennot) on Rubikin ryhmän normaali aliryhmä

Todistus.

Olkoon s jokin ryhmän G(asennot) permutaatio ja g Rubikin ryhmän mielivaltainen permutaatio. Tarkastellaan jonkin palan (kärki tai särmä) kuvautumista konjugaatissa s'=g-1 s g. Vaiheessa 1 permutaatio g kuva kyseisen palan jonkin palan paikalle (mahdollisesti muualle - mahdollisesti samaan paikkaan) asentoon, josta emme tiedä mitään. Seuraavaksi vaiheessa 2 jatkamme permutaatiolla s, joka ei ryhmän G(asennot) alkiona kuitenkaan liikuta paloja minnekään, ainoastaan kääntelee niitä paikoillaan. Lopuksi vaiheessa 3 kumoamme aluksi tekemämme siirtosarjan permutaatiolla g-1. Tällöin tarkastelun alainen palanen palaa alkuperäiselle paikalleen, mutta mahdollisesti väärässä asennossa, sillä vaiheessa kaksi se saattoi kääntyä silloisella paikallaan. Koska tarkastelimme mielivaltaisesti valittua palaa, permutaation s' vaikutus on se, että joitakin osia kääntyy paikallaan. Tämä tarkoittaa sitä, että s' on ryhmän G(asennot) alkio. MOT.

Ryhmäteorian alkeita tuntevat selviävät edellisestä todistuksesta toteamalla, että tarkastelukulman vaihto kuution yksittäisten ruutujen permutaatioista kuution palojen välisiin permutaatioihin antaa surjektiivisen homomorfismin f Rubikin ryhmältä ryhmään G(paikat). Aliryhmä G(asennot) on tämän homomorfismin ydin, joten se on tällöin välttämättä normaali aliryhmä.

Jos kuutio on tilassa, jossa kaikki kärkipalat ovat oikeilla paikoillaan, niin kokonaiskiertymä on aina 360 asteen kokonaislukumonikerta.

Todistus.

Kiinnitetään kuution kaksi vastakkaista sivua, esimerkiksi valkoinen (etusivu) ja keltainen (takasivu). Kullakin kärkipalalla on tasan yksi valkoinen tai keltainen ruutu, joten voimme keskittyä tarkastelemaan näitä ruutuja - niiden sijainnit määräävät kärkipalan asennon (tietyssä paikassa) yksikäsitteisesti. Sanomme kärkipalan olevan oikeassa asennossa (mutta mahdollisesti väärässä paikassa), jos sen valkoinen tai keltainen ruutu on kuution etu- tai takasivulla. Vastaavasti sanomme kärkipalan olevan vastapäivään kiertynyt, jos kyseinen pala on asennossa, joka saadaan oikeasta asennosta 120 astetta vastapäivään kiertämällä. Samoin määritellään myötäpäivään kiertynyt (-120 astetta). Jokainen kärkipala on siis aina joko oikeassa asennossa, vastapäivään kiertynyt tai myötäpäivään kiertynyt ja nämä 3 vaihtoehtoa sulkevat toisensa pois. Nimittäin kärkipalan 3 näkyvissä olevaa ruutua ei selvästikään voi permutoida siten, että niistä yksi pysyisi paikallaan ja 2 muuta vaihtaisivat paikkojaan - tämä edellyttäisi ruutujen repimistä irti kärkipaloista ja niiden liimaamista takaisin eri järjestykseen.

Nyt olemme laajentaneet kärkipalan kiertymän määritelmää. Samoin laajennamme kuution kokonaiskiertymän (=yksittäisten kärkipalojen kiertymien summa) määritelmän koskemaan myös niitä tilanteita, joissa kaikki kärkipalat eivät ole oikeilla paikoillaan. Väitteemme todistamiseksi riittää osoittaa, että jokainen perussiirto muuttaa kuution kokonaiskiertymää 360 asteen monikerralla. Heti näemme, ettei etu- tai takasivun kierto lainkaan muuta kokonaiskiertymää, koska kärkipalat eivät tällöin lainkaan käänny vertailukohtana oleviin etu- tai takasivuihin nähden.

Tarkastelemme yksityiskohtaisemmin perussiirtoa "oikeaalas". Se vaikuttaa ainoastaan kuution oikealla sivulla olevien 4 kärkipalan asentoihin. Käydään ne läpi yksitellen. Oikea etuyläkärki kiertyy oikeaksi etualakärjeksi:

Kaiken kaikkiaan näemme, että oikean etuyläkärjen kiertymä kasvaa 120 asteella kahdessa ensimmäisessä tapauksessa ja pienenee 240 asteella viimeisessä tapauksessa. Huomaa, että näiden muutosten (+120 astetta tai -240 astetta) erotus on 360 astetta. Koska jätämme huomiotta 360 asteen monikerrat, voimme sanoa, että oikean etuyläkärjen kiertymä kasvaa siirrossa "oikeaalas" 120 asteella.

Vastaavasti näemme, että oikean takayläkärjen kiertymä pienenee 120 asteella siirrossa "oikeaalas". (Itse asiassa kiertymän kasvaminen 240 asteella on myös mahdollista, jätämme jälleen huomiotta 360 asteen poikkeamat.) Samoin näemme, että oikean etualakärjen kiertymä pienenee 120 asteella (tai kasvaa 240 asteella) ja että oikean taka-alakärjen kiertymä kasvaa 120 asteella niiden siirtyessä uusille paikoilleen perussiirrossa "oikeaalas". Kaiken kaikkiaan näemme, että 360 asteen poikkeamia lukuun ottamatta siirron "oikeaalas" vaikutus kuution kokonaiskiertymään on nolla.

Muiden perussiirtojen vaikutus voidaan laskea samalla tavalla (tai palauttaa siirtoon "oikeaalas" tai sen käänteissiirtoon "oikeaylos" koko kuutiota kääntelemällä siten, että etu- ja takasivu pysyvät paikoillaan). Koska minkä tahansa perussiirron vaikutus kokonaiskiertymään on 360 asteen monikerta, näin on oltava jokaisen Rubikin ryhmän permutaationkin kohdalla. MOT.

Ryhmä G(paikat) on aliryhmänsä H ja sen sivuluokan "oikeaalas" H erillinen unioni. ryhmän G(paikat) alkioiden määrä on kaksi kertaa aliryhmän H alkioiden määrä.

Todistus.

Sanomme ryhmän G(paikat) permutaation olevan tyyppiä "pariton|pariton" tai "parillinen|parillinen" sen mukaan kohdistaako se sekä kärki- että särmäpaloihin parillisen vai parittoman permutaation. Aiemmin jo näimme, että sekatyyppejä "pariton|parillinen" tai "parillinen|pariton" olevia permutaatioita ei ole olemassa.

Aliryhmä H muodostuu tarkalleen tyyppiä "parillinen|parillinen" olevista permutaatioista. Koska "oikeaalas" on tyyppiä "pariton|pariton", näemme tulosäännön nojalla, että tyyppiä "pariton|pariton" oleva permutaatio h voidaan esittää yhdellä ja vain yhdellä tavalla muodossa h = "oikeaalas" h', missä h' on tyyppiä "parillinen|parillinen". Koska kummassakin aliryhmän H sivuluokassa on yhtä monta alkiota, saamme myös alkioiden määrää koskevan väitteen. MOT.