Kvasistaattiset approksimaatiot

Vaikka suprajohteiden tunnetuin ominaisuus on nolla resistanssi, ei niiden resistanssi ole nolla kuin tasavirralla. Heti kun aineessa olevia elektronien liikkeensuuntaa joudutaan kääntämään, kuluu siihen energiaa, joka ilmenee vastuksena.

Tarkastellaan Maxwellin yhtälöitä (SLIDE 6). Ensimmäinen eli Faradayn laki kertoo, että muuttuva magneettivuon tiheys synnyttää sähkökentän. Toinen eli Ampèren laki kertoo, että magneettikentän luovat virta $\mathbf{J}$ ja ajassa muuttuva sähkökenttä $\mathbf{D}$ . Kolmas ja neljäs ovat Gaussin sähköinen ja magneettinen lait, jotka kertovat, että sähkökentällä on lähde ja se on varaus ja että magneettikenttä on lähteetön. Vapaan varauksen säilymisen laki on johdettavissa ottamalla Ampèren laista (2) divergenssi ja sijoittamalla se Gaussin sähköiseen lakiin (3).

Maxwellin yhtälöt

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{E}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},$	(1)
$\displaystyle \nabla \times \mathbf{H}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J},$	(2)
$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{D}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \rho,$	(3)
$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B}$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(4)

ja näista johdettavissa vapaan varauksen säilymisen laki

$\begin{displaymath} \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\rho}}{\partial t} = 0 \end{displaymath}$

(5)

Jos oletetaan, että aine on homogeenistä (ominaisuudet eivät vaihtele paikasta toiseen), isotrooppista (ominaisuudet eivät ole riippuvaisia suunnasta), lineaarisia (ominaisuudet eivät riipu kentänvoimakkuudesta), paikallisia (ominaisuudet riippuvat vain kyseissä paikassa olevista kentistä) ja aikainvariatteja (ominaisuudet eivät muutu ajan mukana), voidaan kirjoittaa SLIDE 7:n mukaiset yhtälöt. Koska mahdollisuus dispersiivisyyteen (ominaisuudet riippuvat taajuudesta) jätettiin auki, nämä yhtälöt ovat hyvin yleispäteviä. Rajoitukset ominaisuuksiin mahdollistavat Maxwellin lakien lineaarisuuden hyväksikäytön, mikä mahdollistaa superposition. Näin ollen riittää, että tarkastellaan aineen käyttäytymistä taajuudeen funktiona. Jos systeemiä ajetaan satunnaisella signaalilla, voidaan aina käyttää Fourier-analyysiä varsinaisen vasteen selvittämiseen.

$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r},\omega)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mu (\omega) \mathbf{H}(\mathbf{r},\omega)$	(6)
$\displaystyle \mathbf{D}(\mathbf{r},\omega)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \epsilon (\omega) \mathbf{E}(\mathbf{r},\omega)$	(7)

ja Ohmin laki

$\begin{displaymath} \mathbf{J}(\mathbf{r},\omega) = \sigma (\omega) \mathbf{E}(\mathbf{r},\omega) \end{displaymath}$

(8)

Käyttämällä SLIDE 7 ja SLIDE 6:n yhtälöitä saadaan aaltoyhtälö, jossa on toisen asteen derivaatat sekä ajan että avaruuden suhteen. Periaatteessa tästä voidaan laskea aineen ominaisuudet, mutta käytännössä se on usein mahdotonta tai ainakin hyvin työlästä. Onneksi suurimmassa osassa vastaantulevista ongelmista energia varastoituu joko magneettiseen tai sähköiseen muotoon ja yhtälöitä voidaan yksinkertaistaa huomattavasti. Siis tunnistamalla se energiamuoto, johon energia pääasiassa varastoituu, ja yksinkertaistamalla yhtälöitä sen mukaisesti, muuttuvat ongelmat ratkaistaviksi. Tämä on kvasistatiikan perusta.

Seuraavaksi täytyy siis löytää se taajuusalue, jossa kvasistatiikka on voimassa. Tiedämme, että vapaasti kulkevassa sähkömagneettisessa aallossa energiaa on varastoitunut yhtä paljon sekö magneettiseen että sähköiseen muotoon. Vastaavasti, jos EM-aaltoa ei synny on energia varastoinut pääasiassa jompaan kumpaan muotoon. Tämä voi tapahtua, jos EM-aallonpituus on paljon pidempi kuin systeemin dimensiot. SLIDE 8:ssa $\tau_{em} = \ell / c$ on elektromagneettinen kytkeytymisaika ja $\ell$ on systeemin dimensioita kuvaava mitta.

Jos systeemin dimensiot ovat paljon pienemmät kuin siihen vaikuttavan sähkömagneettisen kentän aallonpituus, on sähköisen ja magneettisen kentän kytkentä heikko ja kvasistaattinen approksimaatio on voimassa.

Eli kvantitatiivisemmin

$\displaystyle \ell$	$\textstyle <<$	$\displaystyle \lambda_{em}$	(9)
$\displaystyle \omega \tau_{em}$	$\textstyle <<$	$\displaystyle 1,$	(10)

Kvasistaattinen approksimaatio saattaa aluksi näyttää oudolta, mutta se ei poikkea mitenkään yksinkertaisten RLC-piirien käsittelystä. Emme koskaan oleta RLC-piirin elementin varaavan energiaa sekä sähköisessä, että magneettisessa muodossa, vaikka ne niin oikeasti tekevätkin.

Tarkastellaan SLIDE 9 mukaista systeemiä. Oletetaan aluksi, että johdinten välissä oleva aine on häviöllinen ja dielektrinen. Kuten tiedämme sellainen materiaali on eriste ja sen läpi on vaikea saada kulkemaan suurta virtaa. Intuitiivisesti tiedämme, että energia varastoituu sähköiseen muotoon, koska systeemi muistuttaa kondensaattoria. Siispä sähkökenttä dominoi ja kyseessä on elektrokvasistaattinen systeemi (EQS). Koska magneettikenttä on heikosti kytkeytynyt systeemiin, se ei vaikuta oleellisesti sähkökentän muodostumiseen, joten saamme SLIDE 10 mukaisen Faradayn lain ja yhtälön sähkökentän muutokselle. Nämä yhtälöt sisältävät vain ensimmäisen asteen derivaattoja ja ovat huomattavasti helpompia ratkaista kuin täydelliset Maxwellin yhtälöt.

EQS

$\begin{displaymath} \nabla \times \mathbf{E} \approx 0 \end{displaymath}$

(11)

Käyttäen Maxwellin lakeja saadaan

$\begin{displaymath} \left(1+ \frac{\epsilon}{\sigma_0}\frac{\partial }{\partial t}\right)\nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \end{displaymath}$

(12)

$\begin{displaymath} \left(1+ \frac{\epsilon}{\sigma_0}\frac{\partial }{\partial t}\right)\rho = 0 \end{displaymath}$

(13)

Koko aikaisempi analyysi perustui siihen, että johtimien välissä oleva aine on eriste, jossa energia varastoitui sähköiseen muotoon. Jos kyseessä olisikin ohminen johde, jossa virta pääsee kulkemaan suhteellisen vapaasti, energia varastoituisi pääasiassa magneettiseen muotoon. Tällöin on kyse magnetokvasistatiikasta (MQS). Tutkitaan tämän vaihtoehtoisen tapauksen vaikutusta Maxwellin lakeihin (SLIDE 11). Näitä voi verrata tavallisen RLC-piirin analyysiin.

MQS

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{H}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \mathbf{J}$	(14)
$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{J}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle 0$	(15)

Käyttäen Maxwellin lakeja saadaan jälleen

$\begin{displaymath} \left(\mu\sigma_0\frac{\partial }{\partial t}-\nabla^2\right)\mathbf{H} = 0 \end{displaymath}$

(16)

Koska suprajohteissa virrat kulkevat erittäin vapaasti, keskitytään jatkossa vain MQS-approksimaatioon. Käytettäessä MQS-approksimaatiota on tärkeää laskea ensin magneettikentät ja vasta sitten niiden indusoimat sähkökentät Faradayn laista 1. SLIDE 11:n mukaiset yhtälöt kuvaavat kenttiä ja virtoja bulkkimateriaalissa, mutta usein tarvitaan myös reunaehtoja. Täydellisistä Maxwellin yhtälöistä saadaan johdettua SLIDE 12:n mukaiset reunaehtoja kuvaavat yhtälöt, missä $\mathbf{K}$ on pintavirta ja $\mathbf{n}$ on yksikkövektori, joka osoittaa alueesta 1 alueeseen 2. Nämä yhtälöt kertovat meille, että reunan suuntaisen magneettikentän voimakkuuden eron eri puolilla pintaa aiheuttaa paikallinen pintavirta, ja että reunan yli kohtisuoraan virran ja magneettikentän tiheys pysyy vakiona.

MQS reunaehdot

$\displaystyle \mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mathbf{K}$	(17)
$\displaystyle \mathbf{n} \cdot (\mathbf{B_2}-\mathbf{B_1})$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(18)
$\displaystyle \mathbf{n} \cdot (\mathbf{J_2}-\mathbf{J_1})$	$\textstyle =$	$\displaystyle 0$	(19)