Londonin ensimmäinen yhtälö

Edellisessä kohdassa näimme, miten hyvää sähkönjohdetta approksimoitiin kuvittelemalla se täydelliseksi, jossa sähkökenttään ei varastoidu lainkaan energiaa. Suprajohteita käsiteltäessä haluaisimme tietenkin mallin, joka kuvaa oikeasti täydellistä johdetta, mutta SLIDE 13.

Rajoitus

Ei ole oikein kuvata täydellistä johdetta aineena, joka toteuttaa Ohmin lain $\mathbf{J} = \sigma_0\mathbf{E}$ kun $\sigma_0 \rightarrow 0$.

Tarvitsemme siis uuden tavan lähestyä asiaa. Käytämme Druden mallia kiinteille aineille. Siinä oletetaan, että elektronit ovat pieniä kiinteitä palloja, jotka liikkuvat paikallisen sähkökentän vaikutuksesta. Lisäksi elektronien keskinäiset vuorovaikutukset jätetään tarkoituksella pois. Kun kirjoitetaan tällaisten otusten liikeyhtälö saadaan SLIDE 14, jossa $\tau_{tr}$ on siroamisaika, eli aika joka kuluu kahden törmäyksen välillä. Tässä $\tau_{tr}$ on puhtaasti kokeellinen parametri, jonka arvo saadaan epäsuorasti kokeista. Esimerkin omaisesti yhtälöstä (27) voidaan laskea siroamisaika kuparille, jonka johtavuus huoneenlämpötilassa $\sigma_0 = 5.8\times10^7$ S/m ja varauksen kuljettajien tiheys suurinpiirtein $8.5\times 10^{28}$ kpl/m$^3$. Tästä saadaan siroamisajalle $\tau_{tr} = m\sigma_0/nq^2 = \approx 2.4 \times 10^{-14}$ s ja voidaan todeta, että $\omega\tau_{tr} << 1$ niinkin korkeilla taajuuksilla kuin 1 THz. Eli kuparin johtavuus on lähes riippumaton taajuudesta.

Druden malli

$$m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf{f_{em}} +\mathbf{f_{drag}},$$ (20)

jossa

$$\mathbf{f_{em}} = q(\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})) \approx e\mathbf{E}$$ (21)

$$\mathbf{f_{drag}} = -\frac{m}{\tau_{tr}}\mathbf{v}.$$ (22)

Edellä olevista saadaan

$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \frac{m}{\tau_{tr}}\mathbf{v} = q\mathbf{E},$$ (23)

joka antaa sinimuotoiselle syötölle

$$\hat{v} = \left(\frac{q\tau_{tr}}{m}\right)\frac{1}{1+j\omega\tau_{tr}} \hat{E}.$$ (24)

Ensimmäinen Londonin yhtälö

Olettaen, että kaikki varauksenkuljettajat käyttäytyvät samoin saadaan $\mathbf{J}=nq\mathbf{v}$ ja edelleen taajuusriippuvainen Ohmin laki

$$\mathbf{J} = \left(\frac{nq^2\tau_{tr}}{m}\right)\frac{1}{1... ... \mathbf{E} = \sigma_0\frac{1}{1+j\omega\tau_{tr}} \mathbf{E}.$$ (25)

Sijoittamalla tähän $\tau_{tr} \rightarrow \infty$ ja olettamalla sinimuotoinen $\mathbf{J}$ saadaan

$$\mathbf{E} = \frac{\partial }{\partial t}(\Lambda\mathbf{J}),$$ (26)

missä $\Lambda = m^*/n^*(q^*)^2$.

Täydellisen johteen yli syntyy jännite, jos sitä ajetaan AC virralla.

Soveltamalla edellä laskettua taajuusriippuvaista Ohmin lakia täydelliseen johteeseen, tehdään muutos $\tau_{tr} \rightarrow \infty$. Systeemiä voidaan verrata RL-piiriin, jossa vastus poistetaan ja jäljelle jää vain ideaalinen kela. Ratkaistaksemme ongelmia täydellisessä johteessa oikein, meidän täytyy käyttää SLIDE 15:n Ohmin lakia ja johtaa näin uudet MQS yhtälöt. Samoin kuin aiemminkin saadaan SLIDE 17. Kun näitä sovelletaan äärellisen paksuiseen äärettömään levyyn (SLIDE 18), joka on ac-magneettikentässä, saadaan SLIDE 19 mukainen magneettikentän jakauma.

MQS yhtälöt täydelliselle johteelle

$$\nabla \times \nabla \times \mathbf{H} = -\nabla^2\mathbf{H} =\nabla \times \mathbf{J}$$ (27)

$$\left(\frac{\mu_0}{\Lambda}-\nabla^2\right)\frac{\partial }{\partial t}\mathbf{H} = 0$$ (28)

Täydellinen johde magneettikentässä

Valitettavasti suprajohdetta ei voida kuvata täydellisenä johteena. Tämä huomataan seuraavasta ajatuskokeesta (SLIDE 20). Jos pallo, joka on tehty täydellisestä johteesta, jäähdytetään ilman kenttää kriittisen lämpötilan alapuolella, ja sen jälkeen kytketään magneettikenttä päälle, se sulkee magneettikentän sisältään. Näin toimii myös suprajohde. Ero tulee kun pallo jäähdytetään kentässä: täydellinen johde säilyttää kentän sisällään ja suprajohde sulkee sen ulos SLIDE 21. Tämä on Meissnerin ilmiö.

Täydellinen johde on vuon säilyttävä aine



Suprajohde on vuota hylkivä aine